Video de forma indeterminada infinito sobre infinito, hecho por mí

"Forma indeterminada"

 "Forma indeterminada"

En los límites indeterminados infinito /infinito se debe buscar, la variable de mayor exponente y dividir, tanto en numerador como el denominador por esa expresión, como se muestra en los ejemplos:

"Racionalización"

 "Racionalización"

 Cuando el límite es indeterminado y hay raíces estas se deben racionalizar, según sea el índice de la raíz en el ejemplo a continuación, es una raíz cuadrada.

"Límites indeterminados"

 "Límites indeterminados"

Los límites indeterminados se presentan en las funciones racionales cuando el divisor es cero.

Cuando son límites indeterminados 0/0 y la tendencia es a un valor distinto de cero, se efectúa un división simple o Ruffini, la operación se realiza usando el valor de la tendencia. 

Teorema VII "Límite de una función irracional"

 Teorema VII "Límite de una función irracional"

Una función es irracional cuando la variable independiente aparece bajo el signo de raíz.

Son funciones irracionales las siguientes:

f(x) = √(x – 3); g(x) = 9x + √(x³ + 5); h(x) = √x/5, etc

El modo de calcular el límite de una función irracional es análogo al cálculo del límite de una sucesión irracional.

Teorema VI "Límite del cociente de funciones"

 Teorema VI "Límite del cociente de funciones"

El límite del cociente o límite de la división de dos funciones es igual al cociente de los límites de las dos funciones por separado para un determinado punto en el cual esté definida dichas funciones.

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

límx→x0  f(x) / g(x) = límx→x0 f(x) /  límx→x0 g(x)  

donde f y g son dos funciones que están definidas en el punto x0.

Ejemplos del Cociente de Funciones:

límx→ 1 5x  / (1 + x) = límx→ 1 5x  /  límx→ 1 (1 + x) = 5 / 2 

límx→ -2 (x + 2) /  (x - 1) = límx→ -2 (x + 2)  /  límx→ -2  (x - 1) = 0 / (-3) = 0

Teorema V "Límite del producto de funciones"

Teorema V "Límite del producto de funciones"

El límite del producto o multiplicación de dos funciones es igual al producto de los límites de las dos funciones por separado para un determinado punto en el cual esté definida dichas funciones.

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

límx→x0  f(x) · g(x) = límx→x0 f(x) ·  límx→x0 g(x)  

donde f y g son dos funciones que están definidas en el punto x0.

Ejemplos del Producto de Funciones:

límx→ 1 5x  · (1 + x) = límx→ 1 5x  ·  límx→ 1 (1 + x) = 5 + 2 = 7

límx→ -2 (x + 2) ·  (x - 1) = límx→ -2 (x + 2)  ·  límx→ -2  (x - 1) = 0 · (-3) = 0

Teorema IV "Límite de la función identidad"

 Teorema IV "Límite de la función identidad"

Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo:

Expresión de una función identidad.

La identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz.

La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Al ser ésta positiva (m > 0), la función es creciente.

Que la pendiente de la función identidad sea m = 1 significa que si aumentamos la x en una unidad, la y también aumenta en una unidad.

Formará un ángulo de 45° con cualquiera de los ejes.

La identidad id es el elemento neutro en la composición de funciones. Es decir, cualquier función f compuesta con la identidad es ella misma.

Elemento neutro en la composición de funciones.

Teorema III "Límite de la suma y resta de funciones"

Teorema III "Límite de la suma y resta de funciones"

El límite de la suma de dos funciones es igual a la suma de los límites de las funciones por separado para un determinado punto en el cual esté definida dichas funciones.

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

límx→x0 [ f(x) + g(x)] = límx→x0 f(x)  + límx→x0 g(x)  

donde f y g son dos funciones que están definidas en el punto x0.

Veamos algunos ejemplos de límites de la suma de funciones:

límx→ 1 5x  + 1 / x = límx→ 1 5x + límx→ 1 1/x = 5 + 1 = 6

límx→ -2 (x + 2) +  1 / x = límx→ -2 (x + 2) + límx→ -2 1/x = 0 - 1/2 = -1/2

Teorema II "Limite de una función lineal"

Teorema II "Limite de una función lineal"

En la función lineal, que siempre tiene la forma y = mx + b ; tenemos los siguientes elementos:

x: variable independiente.

y: variable dependiente (su valor depende del valor de x).

m: pendiente.

b: corte con el eje y, u ordenada de origen.

Veamos algunos ejemplos de funciones lineales y no lineales:

Cuando el valor de la pendiente (m) es igual a 0, nos encontramos ante un caso particular de la función lineal, que tiene el nombre de función constante.

Recuerda que, si se grafica una función lineal, siempre se obtiene una recta. Veamos la gráfica de la función    y = 2x – 1.

 Teorema I "Límite de una función constante"

El límite de una constante es igual a la misma constante siempre y cuando la constante esté definida para el punto analizado.

Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

límx→x0 k = k

donde k es una constante perteneciente a los números reales.

límx→ 1 5 = 5

límx→ -2 5 = 5

límx→3 -1 = -1

límx→x0 8 = 8

límx→-x0 2 = 2

límx→0 0 = 0

Límites

Límites

La división que marca una separación entre dos regiones se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una restricción o limitación, al extremo que se puede alcanzar desde el aspecto físico y al extremo a que llega un periodo temporal.

Para la matemática, un límite es una magnitud a la que se acercan progresivamente los términos de una secuencia infinita de magnitudes. Un límite matemático, por lo tanto, expresa la tendencia de una función o de una sucesión mientras sus parámetros se aproximan a un cierto valor.